簡(jiǎn)介

這篇東西大部分都是直接搬 wiki 和其他論壇的,? 只是當(dāng)作是一個(gè)匯總而已.? 內(nèi)容大概為:? 討論 ζ 的收斂性,? 求出平凡零點(diǎn),? 證明非平凡零點(diǎn)在臨界帶 0 < Re(s) < 1 上,? 以及證明 s = 1 時(shí) ζ 有一個(gè) 1 階極點(diǎn).

【資料圖】

原 ζ 函數(shù)的定義和收斂性

ζ 函數(shù)定義為:

并且在 Re(s) > 1 上收斂.? 證明:

?? 在實(shí)軸上收斂

根據(jù)定義可以有:

看到 ζ(s) 的值小于等于比例?q = 2^(1-s)?等比數(shù)列的無窮項(xiàng)和,? 根據(jù)等比數(shù)列無窮項(xiàng)和的收斂條件 |q| < 1?得出 s > 1 時(shí) ζ(s) 收斂.

???在復(fù)平面上收斂

其中 σ = Re(s),? 里面的 ≤ 由三角不等式給出.? 于是證明了 ζ 在 Re(s) > 1 時(shí)收斂.

-

如果對(duì) ζ 提取公因式,? 比如:

正如同所有正整數(shù)都可以表示為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積一樣,? 把所有可能的公因式都提取出來后可以得到:

其中?Π_p 表示對(duì)所有質(zhì)數(shù)求積.? 可以看到后面的求和實(shí)際上是等比數(shù)列的無窮項(xiàng)和,? 于是得出了 ζ 的歐拉乘積形式:

ζ 延拓到 Re(s) > 0

下面引入 Dirichlet η 函數(shù):

η 在 Re(s) > 0 時(shí)收斂.? 證明:

由定積分的定義??給出:

同樣,? 其中的 ≤ 由三角不等式給出.? 注意到,? 上式的???實(shí)際上是對(duì) x ≥ 1 的不連續(xù)定積分 (見下圖),? 并且因?yàn)??在 x ≥ 1 時(shí)恒大于 0,? 所以有

第一個(gè)等號(hào)僅在 -σ-1 < -1 時(shí)成立,? 即 σ > 0,? 所以 η 在 Re(s) > 0 時(shí)收斂.

-

觀察到 η 與?ζ 之間的聯(lián)系:

這個(gè)關(guān)系在 Re(s) > 1 時(shí)絕對(duì)守恒,? 所以通過定義??可以把 ζ 延拓到 Re(s) > 0 上.

η 在 Re(s) = 1 上的零點(diǎn)

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的聯(lián)系 ,? 通過分析 η 的行為,? 可以進(jìn)一步推斷出 ζ 的行為.

解方程?:??,? ?,? 解得 .? 接下來求?:

定義兩個(gè)與 ζ, η 相似的函數(shù):???和 ,? 并且兩函數(shù)有以下關(guān)系:

當(dāng) s = s_n 時(shí),? 1-2^{1-s} = 0,? 即第一項(xiàng)為 0,? 所以

根據(jù)黎曼和?,? 可以得出:

當(dāng) n = 0,? 即 s_n = 1 時(shí):

當(dāng) s ≠ 0 時(shí),? 注意到 1-s_n 為純虛數(shù),? 所以 :

.

由此可得,??.

ζ 在 Re(s) ≥?1 上的零點(diǎn)和 在 Re(s) > 0 上的極點(diǎn)

使用洛必達(dá)法則不難知道,? 1-2^{1-s} 的所有零點(diǎn)都是一階零點(diǎn):?

根據(jù) ζ 與?η 的關(guān)系可以知道:? ,? 因?yàn)槿绻?ζ 在 s_n 處為極點(diǎn),? 那么?, 這于 η(s_n) = 0 沖突.? 同理,? ζ 在 s = 1 處有一階極點(diǎn),? 并且 .

設(shè)函數(shù) f, g 在某個(gè) x 上分別為 m 階極點(diǎn)和 n 階零點(diǎn),? 考慮 y =?f(x)g(x)?的值:? 如果 m < n, 那么 y = 0,? 并且是 n-m 階零點(diǎn);? 如果 m = n,? 那么 y 為某個(gè)不為 0 的數(shù);? 如果 m > n,? 那么 y 為 ∞,? 并且是 m-n 階極點(diǎn).

因?yàn)?η 在 Re(s) > 0 上收斂,? 當(dāng)??時(shí),? ζ(s) 都必須收斂.? 綜上所述,? 就是 ζ 僅在 s = 1 有一階極點(diǎn),? 而在其余 Re(s) > 0 上都收斂.

記 s = σ + i * t,? 有:

其中 exp 是指數(shù)函數(shù),? 根據(jù) ln 的泰勒展開??得

根據(jù)歐拉公式??得

由這個(gè)表達(dá)式可以求得:

其中求和項(xiàng)的括號(hào)有?,? 所以求和后必定 ≥ 0,? 即

當(dāng)取? 時(shí),? ζ(σ) 變?yōu)橐浑A極點(diǎn),? 那么這時(shí)式子說明:? 如果 ζ 在 1+it?為零點(diǎn),? 那么在 1+2it?必為極點(diǎn),? 這違反了上面 ζ 收斂的結(jié)論,? 所以在 Re(s) = 1 上?ζ 不存在零點(diǎn).

對(duì)于 Re(s) > 1,? 由歐拉乘積形式的 ζ 可以知道:? 如果存在 s 使得?ζ(s) = 0,? 那么必定對(duì)于某個(gè) p 有?, 然而這是不可能的,? 所以 ζ 在 Re(s) > 1 上不存在零點(diǎn).

實(shí)際上,? ζ 在 Re(s) = 1 上不存在零點(diǎn)的結(jié)論等價(jià)于質(zhì)數(shù)定理?(prime number theorem),? 但這個(gè)是之后的話題了,? 現(xiàn)在先關(guān)注 ζ 本身.

ζ 在 Re(s) ≤ 0 上的收斂性, 零點(diǎn)和極點(diǎn)

黎曼給出了把 ζ 延拓至整個(gè)復(fù)平面的函數(shù)方程 (functional equation),? 因此 ζ 得名黎曼 ζ 函數(shù).? 這個(gè)函數(shù)方程為:

證明這個(gè)函數(shù)方程有點(diǎn)太復(fù)雜了,? 以后一定.? 其中?Γ 定義為:

這里也不會(huì)討論 Γ 相關(guān)的東西,? 并且也不在乎它可以延拓到 Re(s) < 0,? 只需要知道 Γ(s) 在 Re(s) > 0 上都是收斂的,? 并且都不等于 0.

上面分析了 Re(s) > 0 時(shí) ζ(s) 只在 s = 1 有極點(diǎn),? 而指數(shù)函數(shù)和 sin 都是在整個(gè)復(fù)平面上定義的函數(shù),? 那么根據(jù)函數(shù)方程可以知道 ζ(s) 在 Re(s) ≤ 0, s ≠ 0 時(shí)不存在極點(diǎn).? 由此,? 就把 ζ 延拓到整個(gè)復(fù)平面上了 (除了 s = 0, 1 兩點(diǎn)).? 實(shí)際上,? 因?yàn)橛?η(0) = 1-1+1-1+...,? 右邊為 Grandi 級(jí)數(shù),? 它的值等于 1/2,? 那么通過 ζ 與 η 的聯(lián)系可以得到 ζ(0) = -1/2.

注意到當(dāng) s 為負(fù)偶數(shù)時(shí),? sin(π/2 * s) = 0,? 根據(jù)函數(shù)方程知道此時(shí) ζ(s) 也為?0,? 這些"簡(jiǎn)單可得"的零點(diǎn)被稱為平凡零點(diǎn).? 綜上已經(jīng)求得了 Re(s)?? (0, 1) 上的所有零點(diǎn),? 而在臨界帶 0 < Re(s) < 1 里的零點(diǎn)稱為非平凡零點(diǎn),? 黎曼認(rèn)為非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都為 1/2,? 這就是著名的黎曼猜想,? 黎曼猜想與數(shù)論息息相關(guān),? 但這就是一個(gè)超級(jí)大坑了,? 之后再說吧.